Философия и основания математики

Понятие онтологической истинности позволяет нам также наметить ряд подходов к разрешению вопроса о непротиворечивости теории множеств. Анализ логицистских систем, как мы видели, уже указывает подход, в определенном смысле разрешающий проблему. Та же цель достигается и в интуиционистском анализе, расширенном за счет принципа трансфинитной индукции. Если мы можем подойти к абсолютному обоснованию анализа, то современные логические исследования позволяют сделать вывод об абсолютной непротиворечивости всех наиболее существенных разделов теории множеств. Проблемными теориями остаются в этом случае только «богатые» теории множеств, которые являются мало существенными для математики с точки зрения ее функции. Если изложенная здесь теория онтологической истинности принципов математики является истинной, то современная математика должна быть признана в качестве абсолютно обоснованной. Неопределенность в этом вопросе, существующая до сих пор в умах математиков и философов, проистекает исключительно из неразвитости философии математики и должна быть устранена прогрессом в этой области знания.
Особое место теории множеств в плане логического обоснования, ее сложность в этом отношении, еще требует прояснения. Простота системы отношений, на которых она сформулирована, как кажется, противоречит этому факту. Одно из обстоятельств, определяющих этот факт, заключается, по-видимому, в особенностях ее интуитивной основы. Рассматривая систему аксиом ZF, мы видим, что она содержит в себе положения, которые нельзя отнести ни к сфере логических, ни к сфере онтологических истин. Такова, к примеру, аксиома фундированное™, утверждающая, что все множества построены в конечном итоге из элементов, которые не являются множествами. Очевидно, что это не истина логики и не истина деятельностной онтологии. Для Демокрита ммр состоял из неделимых атомов и в этом смысле все сложное в мире сводилось в конечном итоге к простым элементам. С точки зрения Лейбница всякая монада содержит в себе бесконечное количестве Монад, и с этой точки зрения в мире нет ничего простого. Кант, как известно, противопоставил эти точки зрения на строение мира в качестве одной из своих космологических антиномий. Принимая аксиому фундированности, мы фиксируем более простое, демокри-товское видение мира, оставляя в стороне другое видение, ничуть не менее реальное в метафизическом плане и не более противоречивое с точки- зрения логики. Но это значит, что за аксиоматикой теории множеств, в отличие от аксиоматики арифметики, элементарной геометрии и математического анализа, нет безусловной необходимости, нет той «немыслимости иного», о которой говорил Сггенсер. Математики часто обращают внимание на очевидность аксиом ZF, желая тем самым сблизить принципы теории множеств с принципами элементарных математических теорий, но мы не должны упускать здесь различие между онтологической очевидностью, проистекающей из онтологии математики, и простой наглядностью, которая может иметь эмпирические или натуралистические истоки. Мы должны заключить,таким образом, что аксиоматика теории множеств, взятая как целое, менее качественна в плане своей содержательной основы, чем аксиоматика арифметики или математического анализа. Можно сказать, что она имеет натуралистический характер, поскольку содержит в себе допущения, заведомо выходящие за сферу онтологической истинности. Но это значит, что попытки обоснования теории множеств на основе только онтологически истинных посылок обречены на неудачу.
Здесь будет полезна аналогия с логикой обоснования неевклидовой геометрии у Лобачевского. Как известно, Лобачевский исходил из телесной интерпретации аксиом евклидовой геометрии, основанной на представлении тела, сечения тела и соприкосновения тел. Проблема обоснования аксиомы параллельности была поставлена первоначально в рамках этой интерпретации. Поскольку аксиома параллельности оказалась единственной из аксиом, не выводимой на основе этой интерпретации, то она могла быть понята как произвольная и допускающая замену. С онтологической точки зрения в теории ZF такого рода произвольной посылкой, заведомо выступающей за рамки онтологической интерпретации, является аксиома фундированности, и с этой точки зрения проблема непротиворечивости теории ZF могла бы состоять в логическом обосновании совместности этой аксиомы с остальными аксиомами этой теории. Понятно, что такой подход опирается на предположение, что остальные аксиомы системы удовлетворяют требованию логической или онтологической истинности.

Понятие онтологической истинности позволяет по-новому взглянуть на границы строгого обоснования математики. Оптимистический момент, который мы в достаточной степени прояснили, состоит в том, что к сфере строгого обоснования мы можем отнести, в действительности, значительно большую часть математики, чем та система простых теорий, относительно которых можно провести доказательство непротиворечивости в финитной метатеории.
Однако нетрудно убедиться, что намеченная программа, даже в наиболее либеральной ее формулировке, все-таки не дает нам универсального подхода к решению проблемы. Мы должны учесть здесь режде всего тот факт, что сфера аподиктически очевидной математики коррелятивна сфере категориального видения мира, которая имеет вневременный и инвариантный характер. Мы имеем основания предполагать, к примеру, что представления Евклида о свойствах прямых и плоскостей ни в чем не отличались от наших и что они не могут измениться и для будущих математиков. Система аподиктических истин — это узкое и абсолютно инвариантное ядро математического знания, имеющее ограниченные дедуктивные возможности. С другой стороны, несомненным является факт постоянного усложнения математических структур. Хотя любая математическая теория опирается на аподиктически очевидный центр как на глубинное основание своего метода, в становлении своих определений и принципов она независима от его дедуктивных и конструктивных возможностей. История математики — это постоянное усложнение ее структуры, процесс зарождения теорий, находящихся за пределами воображения предшествующих поколений математиков и качественно новых по составу своих понятий. Простое сопоставление этих двух фактов говорит об ограниченности сферы онтологического обоснования: у нас нет оснований утверждать, что любая математическая теория может быть сведена к онтологически истинной основе и обоснована на основе онтологической истинности.
В своей истории математика дважды приводилась к единству своего содержания на основе небольшой группы самоочевидных принципов, не подвергаемых сомнению. Первая такая редукция (тривиализация) была осуществлена в «Началах» Евклида, вторая, по общему признанию, — в середине XIX века в работах К. Вейерштрасса и Р. Дедекинда по арифметизации анализа. Можно утверждать, что теория множеств, поскольку ее аксиомы самоочевидны и поскольку она определяет содержание существующей математики, как раз и является базой новой тривиализации. Однако мы должны учесть здесь полуонтологический характер теоретико-множественной аксиоматики, и то обстоятельство, что, являясь очевидной и предельно убедительной в своей истинности, она тем не менее не обладает статусом аксиом арифметики и геометрии. Хотя теория множеств в определенном смысле унифицирует современную математику, она не представляет собой ее онтологического обоснования и такое обоснование для современной математики, скорее всего, недостижимо.

Для понимания нового подхода нам нужно произвести некоторые уточнения таких понятий философии математики, как математический объект и математический факт. Математическая теория покоится на замкнутой иерархии объектов, которая делает эту теорию отличной от других математических теорий. Математик имеет дело, во-первых, с объектами исходными, принятыми на основе очевидности, а во-вторых, с объектами производными, полученными на основе различных типов внутренних определений. Два этих класса объектов имеются в любой математической теории. Исходные объекты можно назвать также элементарными, поскольку они лежат в основе всех других определений данной теории. Отличительным признаком исходных объектов является безусловная очевидность их свойств. Производные объекты, как правило, не обладают этим качеством. Математическая теория, начиная с интуитивно ясных объектов и образов, неизбежно восходит к конструкциям, которые будучи строго определены, тем не менее лишены непосредственной ясности своих свойств.
Необходимо отметить два свойства математических объектов, которые важны для понимания строения и развития математической теории. Важнейшее из них — это конечная определимость, заданность математического объекта конечным числом свойств. Этот момент существенно отличает математические объекты от эмпирических, которые бесконечны в том смысле, что их теоретическое определение лишь намечает систему его качеств и не исключает открытия качеств, не согласующихся с принятым определением. Определение в эмпирической теории не задает объект, а лишь указывает на него, как на некоторую сущность, обладающую, в принципе, бесконечным числом независимых друг от друга свойств. В отличие от этого, все свойства математического объекта определены конечным числом требований, зафиксированных в аксиомах или в его исходных определениях. Эта особенность математического объекта проистекает из сущности математической теории как формальной системы, в которой объекту могут быть приписаны лишь свойства, согласованные с его исходным определением.
Другая особенность математических объектов состоит в их строгой соподчиненности. В процессе развития математической теории ее объекты выстраиваются в жесткую иерархию, которая не зависит от произвола отдельного математика и математического сообщества в целом. Понятие натурального числа объективно является более элементарным, чем понятие действительного числа, а понятие действительного числа — более элементарным, чем понятия функции или интеграла, и это объективное соподчинение не может быть устранено никакими перестройками теории. Математическая теория — это прежде всего иерархия зависимых друг от друга объектов, которая однозначно задана в том смысле, что соподчинение соответствующих понятий не может быть изменено произвольно и молекулярные понятия не могут выполнять функцию атомарных. Для каждой математической теории атомарные понятия выделены объективно, самим ее содержанием и не могут быть произвольно изменены.

Системное рассмотрение исключает возможность критики математической теории на зрелой стадии ее существования, направленной на опровержение или корректировку ее исходных принципов. Примером такого рода несомненно ошибочной критики является появившаяся недавно целая серия выступлений, нацеленная на опровержение канторовской теоремы о мощности множества всех подмножеств и связанной с ним канторовской диагональной процедуры. Авторы ставят своей задачей показать, что при доказательстве этой теоремы Кантор допустил логическую некорректность, использовав только одну (внутреннюю) интерпретацию логического отрицания и оставив в стороне другую (внешнюю) его интерпретацию, позволяющую прийти к иному выводу18. Не нужно вдаваться в разбор логических аргументов, чтобы понять несовместимость этого вывода с логикой системной детерминации математических понятий. Понятие несчетного множества нельзя устранить из теории множеств уже потому, что оно там существует и эффективно функционирует в течение длительного времени. Если понятие входит в центр теории и утверждается в этом центре в качестве действующего и необходимого для доказательства теорем, то этот факт является абсолютным обоснованием его логической корректности. Если бы доказательство указанной теоремы Кантора по каким-то причинам не было бы возможным вообще, а понятие несчетного множества было введено посредством аксиомы, то факт сосуществования всего комплекса понятий теории множеств в течение длительного времени уже доказывал бы безусловную корректность этого понятия и непротиворечивость теории множеств в целом. При оценке логической надежности математических теорий мы должны мыслить в соответствии с принципом Гегеля, согласно которому все действительное разумно. Теория, существующая длительное время и связанная со всеми теориями современной математики, не может содержать в себе существенных противоречий и не имеет шансов быть опровергнутой в своих исходных понятиях и принципах19.
Можно сравнить проблему обоснования математики с проблемой построения максимально устойчивой кирпичной башни. Первая стратегия могла бы состоять здесь в том, чтобы установить идеально горизонтальное основание башни и возводить ее слой за слоем, внимательно следя за геометрической формой каждого кирпича и за идеальной равномерностью слоя цементного раствора, скрепляющего эти слои. Это трудная стратегия, но, в принципе, она может обеспечить вертикальность башни до достаточно приличной ее высоты. Другая, более реальная стратегия состоит в том, чтобы заботясь насколько это возможно о горизонтальности фундамента и о форме кирпичей, одновременно корректировать процесс сооружения посредством наблюдения со стороны. Работа математиков начала XX века по обоснованию математических теорий очень сильно совпадает с первой стратегией: они были заняты преимущественно обсуждением аксиом и определений, они хотели найти идеальные формы, которые будучи положены в основание теории безусловно обеспечили бы ее логическое совершенство. Суть системного анализа состоит в том, чтобы обратить внимание на необходимость внешних критериев. Признавая важность логического анализа правил введения новых понятий, мы должны понимать, что наша основная борьба с парадоксами состоит не в усилении системы этих предохраняющих правил (эта система скорее всего бесконечна), а в выявлении сферы математического мышления, заведомо свободного от парадоксов на основе внешних (качественных) признаков, демонстрирующих системную зрелость теории.
Мы должны согласиться со скептиками в том, что противоречия неустранимы из содержательных математических теорий и что не существует никакого набора логических предосторожностей, гарантирующих непротиворечивость математических рассуждений. Анализ логики развития математической теории, однако, позволяет нам настаивать на существенной непротиворечивости всякой достаточно зрелой математической теории и на абсолютной непротиворечивости всей системы выводов, охватываемых стабильными аксиоматиками. Это последнее обстоятельство позволяет считать, что положение о строгости математики и о возможности ее абсолютного обоснования сохраняют смысл, несмотря на отсутствие логических критериев непротиворечивости для большинства математических теорий.
Основной недостаток философии математики XX века состоял в том, что при рассмотрении проблемы обоснования она не вышла за рамки логических представлений и заключения, достигнутые в этой узкой сфере, возвела в окончательное решение проблемы. Вместо того, чтобы понять естественную ограниченность логического анализа и посмотреть на те обстоятельства, которые остаются за его пределами, философы в своем большинстве занялись методологической интерпретацией логических теорем, превратив их в некоторую релятивистскую метафизику, отрицающую достоверность и надежность математического мышления. Между тем сам тот факт, что все противоречия, до сих пор появившиеся в математике, были чисто внешними и никогда не ниспровергали признанных теорий, говорит о наличии внутренних механизмов гармонизации математического мышления, не описываемых в рамках логики. Ясно, что проблема обоснования математики не может быть решена без учета этих механизмов.
Системный взгляд на развитие математики приводит нас к философии математики, которая восстанавливает понимание математики как строгой науки. Методологическая иррациональность математики, состоящая в отсутствии алгоритмов устранения парадоксов и универсальных методов логического обоснования математических теорий, не противоречит с этой точки зрения идее абсолютной надежности признанных математических теорий. Ограниченность логических подходов к обоснованию математики рассматривается с этой точки зрения как только неадекватность этих подходов, но не как свидетельство ненадежности или неопределенности математического мышления.

Критерий логической совместности аксиом является более трудным для восприятия. В принципе можно представить себе систему самоочевидных истин, которые при более детальном анализе могут оказаться несовместимыми. Такие случаи имели место и в математике: мы можем вспомнить в этой связи открытие Расселом противоречия в арифметике Фреге, которая не содержала никаких предпосылок, не обладающих непосредственной очевидностью. Примеры такого рода, однако, не отвергают законности нашего критерия. Анализ парадокса Рассела показывает, что это не противоречие между принципами арифметики или между логикой и арифметикой, а противоречие между аподиктически очевидными принципами, с одной стороны, и предложенной системой их дедуктивного представления, с другой. Мы имеем основания предполагать, что столкновение аподиктически очевидных принципов самих по себе невозможно и что математическая теория, все аксиомы которой обладают свойством аподиктической очевидности, является абсолютно непротиворечивой. Теоретическое обоснование этого критерия может состоять в том, что мы имеем здесь дело с принципами, образующими фундамент мышления, его нормативную основу, которая по самому своему месту в познании обладает наивысшей степенью истинности, а следовательно и максимальной гарантией непротиворечивости. Мы выводим, таким образом, абсолютную непротиворечивость арифметики и евклидовой геометрии из факта онтологической истинности их аксиом.
Понимание стабильности аксиоматики в качестве критерия ее непротиворечивости может вызвать затруднение вследствие того, что стабильность в отличие от аподиктической очевидности не дана нам в виде единовременного непреложного факта сознания. Понятие стабильности существенно эмпирично, оно связано с временем, причем с неопределенным временем. Прекращение потока контрпримеров в основных утверждениях теории может быть истолковано и как свидетельство полной корректности ее оснований и как временный перерыв, обусловленный конкретным этапом ее развития. Эта ситуация представляется неразрешимой и сам критерий — принципиально неопределенным.
Такое понимание, однако, было бы поверхностным. Исследуя историческое становление математической теории, мы выяснили, что оно идет за счет расширения внутреннего ядра теории — неразрушимого центра, который представляет собой завершенный «кроссворд» доказательств, неуязвимый для критики при дальнейшем расширении и совершенствований теории. Мы выяснили также, что лишь конечное число теорем, относящихся к этому центру, необходимо для однозначного определения аксиоматики и аксиоматического представления теории в целом. Но это значит, что на определенном уровне развития любая формальная теория неизбежно выделяет аксиоматику, обладающую стабильностью и абсолютной непротиворечивостью. Теоретическая обоснованность критерия стабильности следует из того, что появление непротиворечивой аксиоматики неизбежно для любой теории и первым ее признаком по самому существу дела будет ее стабильность в смысле отсутствия парадоксов и контрпримеров, указывающих на необходимость расширения или корректировки ее принципов. Это значит, чтс с теоретической точки зрения критерий стабильности несомненно верен и нетрудно видеть также, что это единственный критерий, однозначно продиктованный понятием непротиворечивости. Вся его некачественность имеет практический характер и состоит в неопределенности его применения к конкретным случаям: некий скептик всегда будет иметь возможность утверждать, что отсутствие противоречий в некоторой системе аксиом в течение столетия не есть еще доказательство ее непротиворечивости.
Скептик здесь заблуждается. При рассмотрении математического доказательства мы выяснили, что проверка законченности доказательства осуществляется не только проверкой самоочевидности всех его шагов, но и его включение в центр теории, в «кроссворд» доказательств. Этсг дополнительный факт, если он имеет место, показывает, что чаше мнение о надежности доказательства уже не содержит в себе ничего субъективного. Аналогичные косвенные свидетельства имеются и для системы аксиом. Становящаяся теория неизбежно входит в связи с другими теориями, погружается в центр математики. Это обстоятельно, если оно имеет место, не оставляет сомнений в том, что наступившая стабилизация системы аксиом — не временный перерыв в ее движении, не следствие недостатка средств анализа, а следствие сформировавшегося неразрушимого центра теории.
Существуют и многие другие признаки зрелой теории, указывающие на окончательный характер стабилизации. Здесь мы опять приходим к признанию того положения, что проблема, неразрешимая в рамках однозначных теоретических критериев, разрешается практически. Практика показывает, что нормально развивающаяся и функционирующая аксиоматизированная теория может потребовать для своего полного утверждения десять, максимум 20 лет, но никоим образом не период величиной в столетие. Это значит, что критерий стабильности, несмотря на некоторую неопределенность вынесения суждения, вполне достаточен для конкретного случая, к примеру, для решения вопроса о непротиворечивости таких хорошо аксиоматизированных теорий, как теория множеств, топология и теория вероятностей и т. п. Но это значит, что он достаточен для понимания основной части современной математики как абсолютно непротиворечивой. Скептические сомнения здесь всегда могут иметь место, но они не могут иметь реального подтверждения в практике математического мышления. В случае зрелой теории эти сомнения имеют чисто формальный характер, они имеют не больше оснований, чем допущение о том, что все человечество до сих пор ошибалось, считая сумму чисел 12345 и 54321 равной числу 66666. Задача философии математики и философии науки состоит в том, чтобы выработать противоядие против такого рода пустого скептицизма, препятствующему выявлению последних оснований мышления.
Рассмотрение механизмов стабилизации позволяет заключить, что системный анализ дает нам не только абстрактное теоретическое понимание непротиворечивости математического мышления, но и общезначимые критерии этой непротиворечивости, обладающие полной надежностью.

В классических исследованиях по основаниям математики система аксиом характеризуется рядом свойств, наиболее важными из которых являются непротиворечивость, независимость и полнота. Это логические характеристики, определяемые в логических терминах и рассматриваемые в рамках строгой метаматематики. Понятие завершенной аксиоматики, которое мы вводим здесь, является методологическим, поскольку оно предполагает констатацию качеств, невыразимых в логических понятиях. Полнота арифметики в методологическом смысле, конечно, не может быть обоснована логически. Таковы все свойства завершенной аксиоматики, о которых идет здесь речь: они общезначимы и фиксируемы математическим сообществом, но вместе с тем они невыразимы в определениях, приемлемых для логических методов обоснования математики. Генетическое обоснование математики, таким образом, требует некоторого особого уровня анализа теории, который мы будем называть эпитеоретическим ее рассмотрением.
Мы можем определить эпитеорию как систему высказываний о теории, которые не относятся к метатеории в ее строгом понимании, но, с другой стороны, отличаются от общего философского анализа своей относительной строгостью и направленностью на анализ структуры и логики развития теории. Наряду с логическими фактами, вытекающими из строгого анализа аксиоматических систем, мы будем использовать здесь также и чисто метафизические допущения, какими являются, к примеру, предположение о стабильности системы математических фактов или утверждение о минимальности завершенной аксиоматики. Наши рассуждения будут включать в себя и телеологические предпосылки, поскольку мы рассматриваем здесь математическую теорию как эволюционирующую систему, нацеленную на решение внешних задач.
Цель обоснования математической теории состоит в обосновании ее непротиворечивости. Наша основная гипотеза будет состоять в том, что непротиворечивость является сущностным свойством завершенной аксиоматики. Если мы можем понимать завершенность аксиоматики как ее предельную фактуальную истинность, то становится неизбежным предположение о непротиворечивости как сущностном свойстве завершенной аксиоматики. Если это так, то проблему обоснования математической теории мы можем понять как эпистемологическую проблему, относящуюся к логике ее становления. Она становится проблемой эпитеории, включающей в себя как логические, так и методологические доводы.
Здесь возникает, конечно, вопрос о строгости. Разнообразие и внелогический характер используемых средств, как кажется, полностью исключает обосновательное значение эпитеории, ее претензии на полную доказательность. Положение здесь, однако, не является столь однозначным. Многие из приведенных выше доводов, в действительности, претендуют на доказательность и категоричность. Мы говорим здесь не о возможности стабильной аксиоматики, но о ее неизбежности, о ее абсолютной, а не вероятной истинности, и эта категоричность, в действительности, имеет объективные основания. Мы, таким образом, должны обосновать возможность строгих выводов на уровне эпитеоретического рассмотрения.
Понятие непротиворечивости системы аксиом отличается от рассмотренных методологических понятий тем, что оно выразимо в языке логики, и строго логический анализ представляется единственно соответствующим его статусу. Однако есть основания думать, что мы имеем здесь дело с некоторой односторонностью взгляда. В понятии непротиворечивости теории скрыта, говоря языком Канта, неустранимая амфиболия: с одной стороны, это сугубо логическое понятие, характеризующее структуру теории, а с другой стороны, это понятие телеологическое, характеризующее направление ее совершенствования, вытекающее из сущности теоретического знания вообще. В этом последнем плане непротиворечивость является регулятивным требованием и должна обсуждаться в рамках системного и эволюционного анализа теории. Замысел системного обоснования состоит в том, чтобы подойти к пониманию непротиворечивости в рамках системных понятий, связать непротиворечивость аксиоматики с ее завершенностью и идеальной фактологической истинностью. Принципиальная ограниченность логических подходов к обоснованию математики проистекает из того, они сориентированы только на структурное, узко логическое определение этого понятия.

Мы рассмотрим теперь проблему обоснования математики, исходя из логики ее развития. Этот подход будет методологическим в том смысле, что мы будем опираться здесь, в основном, на качественные характеристики математического знания, выработанные в истории математики и в философии науки. Его можно назвать также системным, поскольку математика будет рассматриваться здесь как исторически развивающаяся и самоорганизующаяся система. От анализа структуры математической теории мы переходим к анализу исторических стадий ее развития, к исследованию логики ее становления. Идея онтологической истинности при таком подходе становится несущественной. В основе нашего рассуждения будет лежать представление о фактуальнои истинности аксиом и о ретротрансляции истинности от фактов к принципам.

Критерий онтологической истинности устраняет необходимость этого требования. Является ошибочным, прежде всего, то допущение, что только математические критерии могут строго задать границы метатеории и устранить нежелательный произвол. Хотя мы не можем выделить сферу априорной математики посредством математических признаков, мы можем с полной определенностью утверждать априорный характер логики, аксиом арифметики, аксиомы выбора и т. п. Это значит, что не имея математического определения принципов метатеории, мы имеем способы их содержательного выделения, которые обеспечивают не менее строгое определение состава метатеории, чем ее определение на основе математических понятий. Нет необходимости говорить о том, что онтологические критерии не имеют никакого отношения к психологической очевидности.
Другое допущение, которое присутствует в требовании полной внутренней определенности метатеории, состоит в том, что переход от интуитивных критериев к критериям математическим всегда возможен и всегда полезен для программы в смысле усиления ее эффективности. Анализ критерия финитности показывает, что это не так. Понятие финитности в определенной мере определяет сферу априорного, но это определение является столь неадекватным, что его эффективность сводится к нулю. У нас нет оснований думать, что понятие онтологической истинности может быть заменено каким-либо математическим аналогом. В действительности, можно обосновать невозможность какой-либо адекватной экспликации этого понятия, а следовательно, и неизбежность непосредственного определения и оправдания принципов метатеории в гносеологических понятиях.
Ясно, что метатеория, расширенная таким образом, ни в каком смысле не является финитной, хотя она может полностью соответствовать формалистскому подходу в смысле чисто синтаксического анализа теории. Принятие закона исключенного третьего или принципа трансфинитной индукции относится только к расширению метатеории и не разрушает общей логики формалистского обоснования.
Общий вывод, вытекающий из сказанного, состоит в том, что мы должны снять неоправданные ограничения на метатеоретическое рассуждение, имеющие место в первоначальной программе Гильберта. Мы должны отказаться от требования его финитности, от ограничений на логику и наконец от самого характера определения метатеории. Адекватная метатеория должна быть непосредственно определена на основе понятия онтологической истинности, которое не может быть заменено какой-либо системой собственно математических критериев. Теория онтологической истинности дает нам достаточные аргументы для обоснования того положения, что снятие этих ограничений не является отказом от требования абсолютной надежности метате-оретического рассуждения.

В понимании интуитивной данности исходных математических объектов Брауэр следует за Кантом. Однако он принимает лишь интуицию времени, полагая, что интуиция пространства поколеблена открытием неевклидовых геометрий. В основе математики, по Брауэру, лежит интуиция натурального ряда, которая выражается прежде всего в представлении о возможности его неограниченного продолжения. Проблемы обоснования потенциальной бесконечности для Брауэра не существует: она снимается на основе непосредственной очевидности непрерывного продолжения натурального ряда через последовательное осуществление интуитивно ясной операции прибавления единицы к каждому вновь полученному числу.
Требование конструктивности всех допустимых объектов существенно ограничивает логические средства, приемлемые в интуиционистской математике. Если математика должна расширяться только в пределах возможного конструктивного оправдания, то она должна исключить из логических правил закон исключенного третьего и правило снятия двойного отрицания, так как их приштие ведет к признанию утверждений о существовании, не имеющих конструктивного оправдания. Понятие отрицания получает при этом специфический смысл, отличный от его трактовки в традиционной логике: мы можем отрицать здесь общее суждение только посредством построения контрпримера, а утверждение о существовании некоторого объекта только через сведение к противоречию допущения о его существовании. Логические константы и кванторы вследствие этого должны получить существенно другое значение, также определенное идеей построения: мы полагаем некоторое суждение истинным для всех значений переменной, если мы имеем возможность конструктивного обоснования его истинности для любого из этих значений.
Логика у Брауэра не просто ограничивается, она фактически устраняется в качестве автономного фактора расширения множества математических суждений, ибо доказанное посредством логических схем должно обосновываться и на основе математической конструкции, не предполагающей каких-либо схем логического вывода. Логика в интуиционизме, таким образом, выполняет лишь функцию сокращения конструктивных рассуждений, но не функцию выведения их за границы, определенные собственно математическими предпосылками.
Интуиционистская философия математики в отличие от логицист-ской последовательно антиреалистична. Математические объекты понимаются здесь лишь как мысленные конструкции, не имеющие какого-либо существования, независимого от конструктивной деятельности сознания. Брауэр считает, что законы математики не:имеют статуса законов физики, ибо если бы человечество было вдруг уничтожено, то в мире не осталось бы никакой реальности, представляющей математические теоремы, в то время как физические законы как объективные связи продолжали бы существовать. Математическое творчество, с этой точки зрения только изобретение, но никоим образом не открытие и не отражение какой-либо реальности. Интуиционизм Бра-уэра в этом смысле прямой антипод платонизму логицистов, которые неизменно наставали на предсуществовании математических объектов и на их тождестве в этом отношении объектам географии и зоологии.
Хотя Брауэр принимает априорное представление о времени как интуитивную основу арифметики, было бы ошибочным рассматривать его общую философскую установку как вариант априоризма. Он допускает зависимость логики от содержания мышления, подчеркивает мысленный статус математических истин и их зависимость от интеллектуальной активности субъекта, обсуждает математическую интуицию исключительно как факт психологии. У Брауэра отсутствует идея априорной формы мышления, которая стоит выше психологии и всякой конструктивности. Он усматривает сущность математических объектов в актах свободного конструирования, но не в экспликации трансцендентальных форм мышления.
Наиболее радикальное отличие интуиционизма от логицизма и формализма состоит в понимании роли знаков и символического языка в математическом мышлении. Намерение Фреге, как мы видели, состояло в том, чтобы заменить расплывчатый язык математических рассуждений языком символов и строгих определений. Брауэр, напротив, видит в символическом языке нечто чуждое природе математического мышления. Идеально строгое мышление, по Брауэру, протекает на уровне мысленного конструирования, на уровне непосредственного сцепления интуитивно ясных представлений, которые лишь более или менее адекватно могут быть отражены в рамках символов и формальных определений. Брауэр считает, что формальный язык математики уводит нас в сторону от математической истины, как только он уходит из-под контроля непосредственного интуитивного восприятия объектов. Логицисты, по его мнению, выдают за суть математики лингвистическую структуру, пригодную лишь в качестве средства передачи математической мысли. Брауэр, таким образом, ищет строгость математики не в очевидности символических построений, а в очевидности самих математических объектов, в их непосредственной данности сознанию. Символический язык, согласно Брауэру, может использоваться в математике лишь в тех пределах, в которых он не становится самодовлеющим, заменяющим математику как процесс построения и эффективного исследования конкретных математических объектов.При таком подходе аксиоматическое определение теории полностью теряет смысл, а за механизмом логической дедукции остается лишь роль схематизации конструктивных выводов.
Интуиционизм как определенное видение предмета математики, состоящее в том, что математические абстракции не должны терять связи с конкретными объектами и интуитивно ясными операциями, появился задолго до появления парадоксов в теории множеств. Эту идеологию мы видим в высказываниях Гаусса и Кронекера. Оба этих математика были убеждены в том, что актуальная (завершенная) бесконечность не может быть предметом математического рассуждения, и что математика для того, чтобы оставаться строгой дисциплиной, не должна уходить из сферы объектов, относительно которой мы имеем право выносить проверяемые суждения. Это были, однако, доводы, проистекающие скорее из абстрактной философии, чем из каких-либо реальных затруднений. Появление парадоксов в логике и в теории множеств превратило эту старую идею в практически значимую методологию. Уже в первых своих работах по основаниям математики Брауэр связывает интуиционизм с проблемой устранения парадоксов и высказывает убеждение, что окончательное избавление от них возможно лишь через принятие интуиционистского взгляда на математику и на границы применения классической логики30. Интуиционизм приобретает статус программы обоснования математики, становится системой требований к перестройке математического знания, устраняющей некорректность обычных (классических) доказательств.

Понятие единичного объекта и единичной операции как категориально осмысленных сущностей задает весь ряд арифметических объектов — чисел, кроме нуля. Число нуль не имеет онтологического содержания: оно должно быть понято как формальный объект, введенный с целью обобщения операции вычитания. Очевидно, что число, определенное таким образом, не опирается на теоретико-множественные понятия, такие, как пустой класс и эквивалентность классов15. Это понимание числа является достаточным в том смысле, что оно делает все существенные свойства натурального ряда самоочевидными, проистекающими из его построения. Если каждая новая совокупность отличается от предыдущей только прибавлением одного объекта, то ряд не будет содержать разрывов, которые могли бы быть заполнены членами, относящимися к этому ряду. Ряд, построенный таким образом, не будет иметь возвращений назад вследствие того, что каждый новый член этого ряда совокупностей будет отличаться от всех совокупностей, построенных ранее. Этот ряд, наконец, неограничен в своем продолжении вследствие идеальной природы совокупностей, к которым он относится. Идея бесконечности натурального ряда, или, в более общем плане, идея неограниченного увеличения любой предметной совокупности, органически содержится в абстракции идеальной предметности,которая лежит в основе математического мышления. Здесь мы можем повторить аргумент Канта, относящийся к бесконечной делимости пространства. «... Пространство есть такое целое, которое при всяком разложении в свою очередь все еще представляет собой пространство и потому оно делимо до бесконечности»16. Поскольку идеальный предмет, будучи присоединен к множеству предметов, не изменяет свойств этого множества (по свойству аддитивности идеальной предметности), то эта операция всегда сохраняет возможность ее повторения.
Бесконечность натурального ряда проистекает, таким образом, из его идеальности, из того факта, что он является чисто мысленной конструкцией, не связанной с какими-либо реальными (физическими) ограничениями. Арифметика описывает не структуру Вселенной, а лишь онтологию мышления, она относится не к физическому миру, а к идеализированной предметности, законы которой не зависят от опыта17. Это, однако, только отрицательное условие, определяющее возможность бесконечности как мысленной операции. Позитивное условие, определяющее его необходимость для сознания, состоит в деятельностной ориентации сознания, в его необходимой направленности на выход за пределы конечного. Математическая бесконечность в этом плане должна пониматься как представление, порожденное необходимой деятельностной ориентации сознания. Бесконечность привнесена в математику не опытом и не логикой, а предметной онтологией, которая является подлинным интуитивным основанием арифметики и математического мышления в целом.
Отсюда следует, что мы не можем перестроить идею числа, а можем лишь прояснить, систему категориальных представлений, в рамках которых оно задано18.
Обоснование теории множеств требует признания актуальной бесконечности, а именно, утверждения о существовании множества, заключающего в себе все конечные множества. Утверждение актуальной бесконечности представляется более сильным тезисом, так как предполагает завершенность потенциально бесконечного процесса порождения. Пересчет чисел, однако, не может быть закончен, и актуальная бесконечность представляется, вследствие этого, некоторой фиктивной сущностью, недостижимой даже в мысли. Отторжение актуальной бесконечности в философии и методологии математики существенно связано с ее восприятием как чисто интеллектуальной фикции, не допускающей строгого определения.