Философия и основания математики

Теория онтологической истинности дает нам основу для прояснения и уточнения этой идеи. Здесь необходимо выделить три положения, которые обеспечивают переход от абстрактной идеи математической истинности к критериям истинности для конкретных принципов:
1. Реальность математической абстракции должна пониматься как ее онтологическая означенность, как внедренность ее в предметную онтологию, порожденную деятельностной ориентацией мышления.
2. Онтологическая истинность математических понятий и принципов является гарантией их абсолютной непротиворечивости в отношении друг к другу.
3. Возможно рациональное обоснование принадлежности конкретных математических принципов к сфере онтологической истинности.
Обоснование этих принципов устраняет неопределенность гёделев-ской установки. Теория онтологической истины позволяет нам обосновать в качестве истинных принципы классической логики, включая закон исключенного третьего, исходные аксиомы арифметики и евклидовой геометрии и, наконец, трансфинитные утверждения, такие, как аксиома бесконечности и аксиома выбора. Анализ онтологического основания математики позволяет понять математическую бесконечность как особую сущность, как необходимое представление предметной онтологии и, таким образом, как представление столь же базовое для математического мышления, как и понятие натурального числа. Мы поняли тот факт, что трансфинитные принципы не обосновываются на основе финитных, а утверждаются в своей надежности на основе собственного онтологического основания. Понимание совместности онтологических истин позволяет указать пути рационального расширения традиционных программ обоснования и распространения их На сферу анализа и теории множеств.
Последовательное обоснование этой позиции приводит к пониманию того факта, что всякая логическая программа обоснования математики является по своей сути онтологической, ибо она нуждается в оправдании некоторой системы исходных принципов в качестве непосредственно истинной. В логическом обосновании математики мы должны уйти как от тесного финитизма, так и от неконтролируемой интуитивности, ведущей к противоречиям. Единственным ориентиром, указывающим границы допустимого отступления от финитности, является здесь понятие онтологической истинности.
С этой точки зрения мы должны считать совершенно несостоятельными все призывы к очищению математики от онтологии как от некоторого рода метафизики. Антионтологизм в философии математики идет .прежде всего от конвенционализма, который понимает математическую реальность как только гипостазирование смыслов, вырабатываемых в рамках формальных структур. Он органически присущ интуиционизму, который мыслит математические объекты как только мысленные конструкции, приемлемые в плане той или другой задачи. Деятельностная теория познания рассматривает математические предметы не как отражение предметов опыта и не как изобретения интеллекта, а как экспликацию предметных представлений, относящихся к универсальной форме мышления. Это значит, что онтология, предполагаемая математикой, —не произвольное построение, которое может быть изменено следующим поколением математиков, а система вневременных интуиции, лежащих в основе человеческого мышления. Достаточно ясно, что отказ от понятия онтологической истинности был бы разрушением всех разумных путей к обоснованию математики69.
Принципиальным моментом гёделевской позиции является тезис о существовании единственной истинной арифметики и единственной истинной теории множеств. Выявление истинных математических теорий дает нам ключ к обоснованию математики в целом, ибо онтологически истинные теории должны быть признаны в качестве абсолютно непротиворечивых. Существование единственной онтологически истинной арифметики, конечно, не противоречит возможности иных арифметик, обладающих логической непротиворечивостью.
Неудача попыток логического обоснования математики привела к возрождению эмпирической философии, к идее математики как некоторого рода абстрактной физики, которая не гарантирована от корректировки и пересмотра своих основ.
Это, конечно, ложное направление мысли. Математика — не физика и не система соглашений, допускающая изменение под влиянием внешних обстоятельств. Выявление несостоятельности логических подходов должно, в действительности, привести нас не к эмпиризму, а к онтологии, к пониманию особой связи математических теорий с категориальной картиной мира.

Лакатос выделил три типа обоснования теории: евклидианское, ин^ дуктивистское и эмпирицистское70. Суть евклидианского обоснования состоит в том, что истина входит здесь в исходные принципы теории и течет «вниз», к более конкретным утверждениям по дедуктивным каналам передачи истинности. Евклидианское обоснование, таким образом, это аксиоматическое обоснование теории в том случае, когда у нас имеются внелогические доводы за безусловную истинность аксиом. Все традиционные программы обоснования являются евклидиан-скими в том смысле, что они, в конечном итоге, ставят своей задачей свести все содержание теории (или вопрос о ее непротиворечивости) к некоторому множеству безусловно истинных (тривиальных) суждений, логическая совместность которых не подлежит сомнению.
Лакатос был убежден в том, что схема евклидианского обоснования не соответствует логике развития современной науки. Поиски чистого евклидианского обоснования любой науки, в том числе и математики, по его мнению, должны быть оставлены, как покоящиеся на заблуждениях априоризма. Полное обоснование на основе несомненно истинных принципов, с этой точки зрения, не более чем некий идеал, на который ориентируется мышление, но которого оно никогда не достигает в реальной практике обоснования. Лакатос исключает также и возможность индуктивного обоснования математической теории, опирающегося на бесспорные единичные факты (сингулярные суждения). Законы логики запрещают, по его мнению, движение истины «снизу вверх», от фактов к принципам.
Истинное обоснование научного знания, по Лакатосу, — это эмпирицистское или гипотети ко-дедуктивное обоснование, которое не допускает вхождения абсолютной истины в теорию ни сверху, ни снизу, которое рассматривает ее относительной на всех уровнях и перемещает внимание с вопроса: «Каким образом мы знаем истину?» на вопрос: «Каким образом мы улучшаем догадки?». Лакатос убежден, что эта схема обоснования относится и к математике, с тем лишь изменением, что речь здесь идет о фактах существенно иной природы71.
Система рассуждений Лакатоса направлена на то, чтобы доказать нереализуемость идеала безупречного логического обоснования математики и тщетность всех попыток выделить математику из системы остальных наук как строгую и абсолютно обоснованную науку. Для всякого знания, по Лакатосу, всегда остается истинным то положение, что основания не могут быть обоснованы и прогресс обоснования имеет смысл лишь как улучшение имеющихся оснований.
Теория онтологической истинности, очевидно, отвергает логику рассуждений и выводы Лакатоса. Праксеологический анализ показывает, что мы вправе говорить об абсолютно строгих доказательствах и безусловно истинных посылках, лежащих в основе математического мышления. С праксеологической точки зрения, редукция к аподиктической истине — необходимый момент развития математического знания и эта редукция, будучи достигнутой, должна считаться безусловным и окончательным обоснованием редуцированного знания. Мы должны, таким образом, утверждать прямо противоположное тому, что говорит Лакатос, а именно, мы должны настаивать на том, что евклиди-анское обоснование математических теорий проистекает из сущности математического знания и что оно обеспечивает абсолютное обоснование математической теории, не корректируемое дальнейшим развитием математики.

Эмпирицистская (гипотетико-дедуктивная) и евклидианская схемы обоснования не должны противопоставляться друг другу, ибо они выражают, в действительности, не исторические стадии в развитии идеи обоснования, как это склонен был думать Лакатос, а взаимодополнительные типы обоснования, соответствующие различным типам научного знания. Обоснование математического знания, в действительности, может быть только редукцией к аподиктической очевидности. По своей сути оно может быть только евклидианским, так как оно должно ориентироваться на абсолютный фундамент, выявляемый в аподиктической очевидности.
Истины логики и собственно математические истины, связанные с предметной онтологией, составляют два глубинных корня математического мышления, определяющие содержание первичных математических теорий и метод математического мышления в целом. Оба этих типа истины обусловлены деятельностной ориентацией мышления и представляют собой инвариантную и незыблемую основу человеческого мышления вообще. Прояснение этих положений открывает путь к оправданию евклидианского обоснования как сущностного для математической науки. С этой точки зрения, мы должны признать, что выдающиеся математики, наметившие программы обоснования, находились, в принципе, на правильном пути, ибо вопреки всякому скептицизму они стремились выявить незыблемую и некорректируемую основу математического мышления, которая была бы достаточной для оправдания всего значимого содержания математики. Существование сферы такого рода необходимых истин не вызывало у них никаких сомнений. Истоки этой веры, очевидно, проистекали из самой практики математического мышления, в которой каждое доказательство представляет собой редукцию сложных истин к более простым и, в конечном итоге, к истинам, не подвергаемым сомнению.
Теория онтологической истины оправдывает эту веру. Недостаток традиционных программ обоснования математики состоял не в их ев-клидианском характере и не в претензии их на абсолютность, а лишь в отсутствии теории оправдания абсолютности, присущей математическому мышлению по его природе.

Математическая теория —- это кристаллическое образование в мире понятийных систем. Развитие математической теории имеет своим неизбежным результатом образование центрального ядра теории, которое является законченным и неразрушимым. Зрелая математическая теория родственна кристаллу по внутренней жесткости своих связей. Парменид утверждал, что мир неподвижен по той причине, что все места в нем заняты. Зрелая математическая Теория, как и сформировавшийся кристалл, не может изменять своих внутренних связей: в отношении своих основных понятий она абсолютно правильна и абсолютно закончена. Причем математическая теория в отличие от реального кристалла обладает безусловной (идеальной) законченностью. В кристалле как физическом объекте могут навсегда остаться некоторые погрешности структуры, не скорретированные в процессе становления. В математической теории это исключено, поскольку каждое поколение математиков строит этот кристалл заново, проверяя работу предшественников. Как и при проверке доказательств, математическое сообщество обладает здесь конечной во времени и абсолютной критериальностью.
Ясно, что формирование окончательной структуры математической теории определено наличием относящихся к ней завершенных доказательств. Центр математической теории приобретает неразрушимость вследствие того, что система составляющих его логических связей приобретает статус завершенных и не подлежащих корректировке. Его корректировка становится невозможной, вследствие того, что она потребовала бы отказа от теорем, обладающих завершенностью и полной надежностью. Достигая зрелости своих доказательств, теория одновременно приобретает и ту окончательную структуру, которая не подлежит изменению.
Сказанное означает, что математическая и эмпирическая теории существенно различаются в общей схеме своего исторического развития. В математической теории понятия неизбежно достигают уровня полной корректности, в эмпирической теории этого не происходит, в математической теории достигается полная стабилизация внутренних дедуктивных связей, эмпирическая теория в общем случае не имеет такого предела. Если рост эмпирической теории подобен росту города, при котором застройка периферии ведет к постоянной перестройке центра, то рост математической теории должен быть уподоблен росту кристалла, который характеризуется расширением центра, не подверженного более какими-либо радикальными изменениями. Это две различные схемы роста, соответствующие различным типам знания. Математические теории переживают стадию установления основ, но они не переживают революций, отвергающих эти основы.
Эмпирическая философия математики всегда пыталась подтянуть развитие математики к некоторой общенаучной схеме, позволяющей настаивать на относительности всех, даже наиболее обоснованных математических утверждений. Ясно, что этот замысел нереализуем. Развитие математической теории определено конечной и полной стабилизацией понятий, которая не имеет места в системе эмпирического знания.

Целью обосновательных рассуждений, в конце концов, является обоснование надежности содержательных математических теорий. Несомненно, что там, где достигается строгое логическое (метатеоре-тическое) обоснование непротиворечивости формализованного исчисления, оно может считаться полным обоснованием соответствующей содержательной теории, гарантирующим отсутствие противоречий в ее основных утверждениях. Логика обоснования заключается здесь в переходе от непротиворечивости формальной модели к непротиворечивости содержательного аксиоматического представления теории. Суть системного подхода состоит в том, что он нацелен непосредственно на обоснование непротиворечивости содержательных аксиоматических систем. Мы выводим здесь факт непротиворечивости теорий из анализа логики их развития и стремимся сформулировать признаки ее логической надежности без обращения к свойствам формализованной модели теории.
Если приведенные соображения верны, то нужно признать, что все основные теории современной математики вне зависимости от возможностей их логического анализа являются существенно непротиворечивыми и абсолютно непротиворечивыми в рамках их систематического аксиоматического представления. Это относится в данном случае не только к центральным теориям математики, таким, как арифметика, геометрия и алгебра, но и к таким теориям, как теория вероятностей, топология и теория множеств, в ее признанных аксиоматических представлениях.
Выше были приведены аргументы за непротиворечивость теории множеств, опирающиеся на онтологическую значимость ее основных аксиом. Системный анализ дает нам более убедительный подход к решению этой проблемы, опирающийся на факт стабильности ее аксиом. Теория множеств (это относится по крайней мере к наиболее употребительным и практически используемым ее представлениям) является, с системной точки зрения, не менее надежной, чем всякая другая теория современной математики, имеющая признанную аксиоматику.
Вся история развития теории множеств связана с сомнениями в ее корректности. В начале XX века, после того как Цермело представил первый вариант аксиоматического представления теории множеств (1908), Пуанкаре писал: «Автор думал избежать наиболее существенных парадоксов, запретив себе всякие спекуляции за пределами полностью замкнутого Menge; он думал избежать парадокса Ришара, не ставя никаких вопросов, кроме дефинитных, что по тому смыслу, который он вкладывает в это выражение, исключает всякое рассмотрение объектов, которые могут быть определены конечным числом слов. Но если он хорошо запер свою овчарню, то я не убежден, что он не запер туда и волка»14. Та же мысль звучит и в высказывании Г. Вейля, которое было сделано через четыре десятилетия: «...У нас нет гарантий непротиворечивости Z, — пишет Вейль, — за исключением того эмпирического факта, что до сих пор из нее не выведено никаких противоречий»15. Утверждения того же типа мы находим и в современных книгах по математической логике. Общий смысл их состоит в том, что хотя в рамках признанных аксиоматик теории множеств не выведено никаких противоречий, у нас нет полной гарантии, что это не произойдет в будущем.

Системное рассмотрение исключает возможность критики математической теории на зрелой стадии ее существования, направленной на опровержение или корректировку ее исходных принципов. Примером такого рода несомненно ошибочной критики является появившаяся недавно целая серия выступлений, нацеленная на опровержение канторовской теоремы о мощности множества всех подмножеств и связанной с ним канторовской диагональной процедуры. Авторы ставят своей задачей показать, что при доказательстве этой теоремы Кантор допустил логическую некорректность, использовав только одну (внутреннюю) интерпретацию логического отрицания и оставив в стороне другую (внешнюю) его интерпретацию, позволяющую прийти к иному выводу18. Не нужно вдаваться в разбор логических аргументов, чтобы понять несовместимость этого вывода с логикой системной детерминации математических понятий. Понятие несчетного множества нельзя устранить из теории множеств уже потому, что оно там существует и эффективно функционирует в течение длительного времени. Если понятие входит в центр теории и утверждается в этом центре в качестве действующего и необходимого для доказательства теорем, то этот факт является абсолютным обоснованием его логической корректности. Если бы доказательство указанной теоремы Кантора по каким-то причинам не было бы возможным вообще, а понятие несчетного множества было введено посредством аксиомы, то факт сосуществования всего комплекса понятий теории множеств в течение длительного времени уже доказывал бы безусловную корректность этого понятия и непротиворечивость теории множеств в целом. При оценке логической надежности математических теорий мы должны мыслить в соответствии с принципом Гегеля, согласно которому все действительное разумно. Теория, существующая длительное время и связанная со всеми теориями современной математики, не может содержать в себе существенных противоречий и не имеет шансов быть опровергнутой в своих исходных понятиях и принципах19.
Можно сравнить проблему обоснования математики с проблемой построения максимально устойчивой кирпичной башни. Первая стратегия могла бы состоять здесь в том, чтобы установить идеально горизонтальное основание башни и возводить ее слой за слоем, внимательно следя за геометрической формой каждого кирпича и за идеальной равномерностью слоя цементного раствора, скрепляющего эти слои. Это трудная стратегия, но, в принципе, она может обеспечить вертикальность башни до достаточно приличной ее высоты. Другая, более реальная стратегия состоит в том, чтобы заботясь насколько это возможно о горизонтальности фундамента и о форме кирпичей, одновременно корректировать процесс сооружения посредством наблюдения со стороны. Работа математиков начала XX века по обоснованию математических теорий очень сильно совпадает с первой стратегией: они были заняты преимущественно обсуждением аксиом и определений, они хотели найти идеальные формы, которые будучи положены в основание теории безусловно обеспечили бы ее логическое совершенство. Суть системного анализа состоит в том, чтобы обратить внимание на необходимость внешних критериев. Признавая важность логического анализа правил введения новых понятий, мы должны понимать, что наша основная борьба с парадоксами состоит не в усилении системы этих предохраняющих правил (эта система скорее всего бесконечна), а в выявлении сферы математического мышления, заведомо свободного от парадоксов на основе внешних (качественных) признаков, демонстрирующих системную зрелость теории.
Мы должны согласиться со скептиками в том, что противоречия неустранимы из содержательных математических теорий и что не существует никакого набора логических предосторожностей, гарантирующих непротиворечивость математических рассуждений. Анализ логики развития математической теории, однако, позволяет нам настаивать на существенной непротиворечивости всякой достаточно зрелой математической теории и на абсолютной непротиворечивости всей системы выводов, охватываемых стабильными аксиоматиками. Это последнее обстоятельство позволяет считать, что положение о строгости математики и о возможности ее абсолютного обоснования сохраняют смысл, несмотря на отсутствие логических критериев непротиворечивости для большинства математических теорий.
Основной недостаток философии математики XX века состоял в том, что при рассмотрении проблемы обоснования она не вышла за рамки логических представлений и заключения, достигнутые в этой узкой сфере, возвела в окончательное решение проблемы. Вместо того, чтобы понять естественную ограниченность логического анализа и посмотреть на те обстоятельства, которые остаются за его пределами, философы в своем большинстве занялись методологической интерпретацией логических теорем, превратив их в некоторую релятивистскую метафизику, отрицающую достоверность и надежность математического мышления. Между тем сам тот факт, что все противоречия, до сих пор появившиеся в математике, были чисто внешними и никогда не ниспровергали признанных теорий, говорит о наличии внутренних механизмов гармонизации математического мышления, не описываемых в рамках логики. Ясно, что проблема обоснования математики не может быть решена без учета этих механизмов.
Системный взгляд на развитие математики приводит нас к философии математики, которая восстанавливает понимание математики как строгой науки. Методологическая иррациональность математики, состоящая в отсутствии алгоритмов устранения парадоксов и универсальных методов логического обоснования математических теорий, не противоречит с этой точки зрения идее абсолютной надежности признанных математических теорий. Ограниченность логических подходов к обоснованию математики рассматривается с этой точки зрения как только неадекватность этих подходов, но не как свидетельство ненадежности или неопределенности математического мышления.

В рамках логической парадигмы, сориентированной на финитное обоснование непротиворечивости, все эти высказывания являются несомненно верными. У нас нет строгого логического обоснования теории множеств, а следовательно, нет и полной гарантии непоявления новых противоречий в ее рамках. Приведенные высказывания фиксируют один и тот же логический факт и в этом смысле являются одинаково истинными. С системной точки зрения, которая включает в рассмотрение фактор времени и механизмы самообоснования, мы должны по-новому посмотреть на эти утверждения и разделить их по степени оправданности. Высказывание Пуанкаре является несомненно обоснованным, поскольку оно было сделано в момент первоначального оформления теории множеств, когда вероятность появления новых парадоксов была очень большой. Высказывание Вейля имело с этой точки зрения меньше оснований, поскольку к сороковым годам XX века система аксиоматика теории множеств уже в достаточной степени продемонстрировала свою полноту и корректность. Современные высказывания о возможном появлении новых противоречий в аксиоматической теории множеств, будучи допустимыми в контексте логического обоснования, представляются методологически неоправданными, ибо они не учитывают факта стабильности основных аксиоматик теории множеств, который исключает появление в ней каких-либо новых типов противоречий. Теория множеств удовлетворяет всем признакам непротиворечивости содержательной математической теории и с системной точки зрения может быть поставлена под сомнение в этом отношении не больше, чем арифметика или элементарная геометрия.
С этой точки зрения являются необоснованными попытки наложения ограничений на внутренние определения теории множеств с целью увеличения логической надежности ее выводов. Такого рода проекты намечались в начале XX века Лебегом, Борелем, Лузиным и другими математиками. Лузин полагал, что наряду с эффективными понятиями теория множеств содержит в себе понятия, не имеющие реального наполнения и не оправданные теорией, несмотря на их приемлемость в чисто логическом отношении. «Современное состояние теории множеств убедительно доказывает, — писал Лузин, — насколько важно установить точное разграничение между математическими сущностями, которые рассматриваются как существующие, и другими, реаль-носгь которых лишь кажущаяся»16. Исходя из этой установки, Лузин отрицал законность использования в теоретико-множественных доказательствах некоторых типов проективных множеств. Здесь мы видим стремление обосновать математическую теорию на основе представления о некоторой реальности. Идея состоит в том, что понятие счетного множества ближе к реальности и потому более надежно в логическом отношении, чем понятие множества более высокой мощности или проективные множества. Системное рассмотрение полностью отказывается от такого рода отражательного, квазиэмпирического истолкования надежности математической теории. В математической теории, центр которой уже сформирован, только сама система может указать пределы обобщения своих понятий и пределы их абстрактности. Идея реальности важна для понимания исходных представлений математики, но она не может быть ограничителем для внутренних определений математической теории.
С этой точки зрения должна быть отклонена интуиционистская критика теории множеств, которая исходит их факта неконструктивности и неопределенности понятия множества17. Наши аргументы против этой критики основаны в данном случае не на реабилитации закона исключенного третьего, а на представлении о системности теории множеств, которая своим длительным существованием в качестве практически непротиворечивой системы оправдывает одновременно и общее понятие множества и заключенную в ней систему логических принципов.

Исследование внутренней логики становления математической теории позволяет выделить некоторую ступень в ее развитии, которую можно назвать стадией практической или существенной непротиворечивости. Исследование этой ступени является важным для понимания уровня надежности обычных математических рассуждений, с которыми математик имеет дело в книгах, статьях и учебниках.
Будем называть математическую теорию зрелой или практически непротиворечивой, если она имеет неразрушимый фрагмент, достаточный для оправдания полной системы аксиом, а следовательно, и для обоснования всего множества ее утверждений. Зрелость теории в этом смысле не тождественна ее аксиоматическому представлению. Становление признанной аксиоматики представляет собой длительный процесс, зависящий от многих факторов, вследствие чего между начальным этапом становления теории, на котором она только оформляет свои принципы, и последним этапом, на котором она получает адекватное аксиоматическое представление, имеется длительный этап ее существования, когда она, уже имея достаточную систему истинных утверждений, еще не имеет полного логического оформления на основе признанной системы аксиом. В течение всего этого периода мы имеем здесь дело с обычной математикой, которая исходит из истинных принципов, но которая не нацелена на прояснение этих прилципов и их специальное исследование.
Это состояние теории можно назвать состоянием существенной непротиворечивости, поскольку такого рода зрелая теория, не будучи гарантирована от противоречий в своих производных определениях, тем не менее является гарантированной от переворотов, устраняющих достигнутые результаты, принадлежащие к центру теории.
В логическом отношении это состояние теории может быть определено через различение глубоких и поверхностных противоречий. Будем называть математическое противоречие глубоким, если оно способно привести к отказу от аксиом или некоторых других признанных утверждений математической теории, и назовем его внешним или яо-верхностным, если оно-устраняется корректировкой некоторого производного понятия, не затрагивая, признанных утверждений теории. Зрелая содержательная математическая теория является существен-но непротиворечивой в том смысле, что она может содержать в себе только внешние противоречия.
Нетрудно видеть, что развитие любой математической теории неизбежно приводит ее к состоянию существенной непротиворечивости, задолго до ее аксиоматизации и формализации. Сомнения по поводу того, была ли геометрия строгой до Гильберта, конечно, неуместны12. Математики, доказывающие геометрические теоремы во времена Евклида, мыслили совершенно строго, ибо вместо истинных аксиом они ссылались на безусловно истинные теоремы, без признания которых никакая аксиоматика невозможна. Теория вероятности достигла очень высокого уровня развития, прежде чем Колмогорову удалось указать для нее адекватную систему аксиом. Ясно, что и доаксиоматическое развитие было здесь внутренне строгим. Обсуждение основ теории вероятностей Борелем, Бернштейном и Мизесом касалось интерпретации понятия вероятности, но не ставило под сомнение каких-либо теорем, составляющих ее основу. Неразрушимость центра математической теории является основным законом развития математической теории и это обстоятельство дает исчерпывающее понимание того факта, что возникновение парадоксов в математике несущественно для ее развития и для ее применения, если оно ограничивается использованием признанных утверждений теории.
Системное понимание математической теории, таким образом, обосновывает как абсолютную непротиворечивость аксиоматизированной теории, так и практическую непротиворечивость обычной доакси-оматической теории. Это последнее обстоятельство не менее важно,чем первое, ибо оно позволяет нам понять надежность математики в ее приложениях и истоки неколебимой веры в математику как строгую науку, несмотря на наличие парадоксов и отсутствие ясных методов их устранения. Подавляющее число противоречий, которые когда-либо появлялись в математике, были поверхностными в том смысле, что они не приводили к устранению каких-либо теорем или принципов теории. Системный анализ позволяет понять причины этого факта и принципиальное его значение для понимания непротиворечивости математического мышления в целом.
Философия математики начала XX века явно преувеличивала опасность парадоксов, видя в них угрозу самому существованию математики. Гильберт, как известно, рассматривал парадоксы как методологическую катастрофу, подрывающую доверие к науке. Где же искать истину, спрашивал он, если сама математика дает осечку?13 Причина такой реакции заключалась, несомненно, в отсутствии системного видения теории, в недостаточном понимании того факта, что устойчивость математической теории создается не аксиомами, а формированием ее центра, которое делает все противоречия периферийными и несущественными. Хотя обычное содержательное рассуждение не гарантировано от появления противоречий, эти противоречия не несут никакой опасности для основ теории и должны пониматься лишь как момент становления ее новых понятий.
Математическая теория в процессе своего развития получает абсолютное обоснование в том смысле, что утверждения, принадлежащие к ее центру, не могут быть пересмотрены на основе ее дальнейшего развития. Это относится к любой достаточно зрелой математической теории, независимо от степени ее аксиоматизации. В отличие от эмпирической теории контрпримеры в содержательной математической теории не затрагивают ее оснований и содержания, относящегося к ее центру. В своей критике математической строгости Лакатос упускает это существенное различие между двумя типами знания, приписывая математическим парадоксам силу эмпирических контрпримеров, которой они в действительности не обладают.

Критерий онтологической истинности устраняет необходимость этого требования. Является ошибочным, прежде всего, то допущение, что только математические критерии могут строго задать границы метатеории и устранить нежелательный произвол. Хотя мы не можем выделить сферу априорной математики посредством математических признаков, мы можем с полной определенностью утверждать априорный характер логики, аксиом арифметики, аксиомы выбора и т. п. Это значит, что не имея математического определения принципов метатеории, мы имеем способы их содержательного выделения, которые обеспечивают не менее строгое определение состава метатеории, чем ее определение на основе математических понятий. Нет необходимости говорить о том, что онтологические критерии не имеют никакого отношения к психологической очевидности.
Другое допущение, которое присутствует в требовании полной внутренней определенности метатеории, состоит в том, что переход от интуитивных критериев к критериям математическим всегда возможен и всегда полезен для программы в смысле усиления ее эффективности. Анализ критерия финитности показывает, что это не так. Понятие финитности в определенной мере определяет сферу априорного, но это определение является столь неадекватным, что его эффективность сводится к нулю. У нас нет оснований думать, что понятие онтологической истинности может быть заменено каким-либо математическим аналогом. В действительности, можно обосновать невозможность какой-либо адекватной экспликации этого понятия, а следовательно, и неизбежность непосредственного определения и оправдания принципов метатеории в гносеологических понятиях.
Ясно, что метатеория, расширенная таким образом, ни в каком смысле не является финитной, хотя она может полностью соответствовать формалистскому подходу в смысле чисто синтаксического анализа теории. Принятие закона исключенного третьего или принципа трансфинитной индукции относится только к расширению метатеории и не разрушает общей логики формалистского обоснования.
Общий вывод, вытекающий из сказанного, состоит в том, что мы должны снять неоправданные ограничения на метатеоретическое рассуждение, имеющие место в первоначальной программе Гильберта. Мы должны отказаться от требования его финитности, от ограничений на логику и наконец от самого характера определения метатеории. Адекватная метатеория должна быть непосредственно определена на основе понятия онтологической истинности, которое не может быть заменено какой-либо системой собственно математических критериев. Теория онтологической истинности дает нам достаточные аргументы для обоснования того положения, что снятие этих ограничений не является отказом от требования абсолютной надежности метате-оретического рассуждения.

Из аподиктической очевидности семантических рассуждений следует, что они относятся к сфере онтологической истинной математики и также должны быть признаны в качестве законного элемента обосновательной метатеории, несмотря на то, что они не могут быть включены в метатеорию в ее гильбертовском понимании. Как показывает практика, гильбертовские ограничения все еще существенно влияют на методологию обоснования. Э. Мендельсон пишет о непротиворечивости принятого им варианта формализованной арифметики (системы S): «Если мы признаем стандартную интерпретацию моделью теории 5, тогда мы должны признать и факт непротиворечивости этой системы, однако семантические методы, включающие в себя, как правило, известную долю теоретико-множественных рассуждений, по мнению некоторых математиков являются слишком ненадежной основой для доказательства непротиворечивости»61. Теория онтологической истинности обосновывает полную надежность семантических средств, по крайней мере тех из них, которые не выходят за пределы аподиктической очевидности. Стандартная интерпретация арифметики безусловно оправдывает ее абсолютную непротиворечивость. Все доказательства непротиворечивости, опирающиеся на такого рода качественную семантику, должны быть признаны законными, обладающими абсолютной надежностью. Разделение доказательств на семантические и синтаксические, безразличное для обычной математической практики, должно быть признано безразличным и для сферы обосновательных рассуждений.